Fungsi Kuadrat - Grafik Kuadrat - Rumus, Penjelasan, Soal dan Jawaban (2024)

Berikut rumus-rumus fungsi kuadrat:

Rumus umum fungsi kuadrat

y = f(x) = ax² + bx + c

Diskriminan

D = b² – 4.a.c

Sumbu simetri

x = – b/2a

Nilai ekstrim

y = – D/4a = f (-b/2a)

Titik balik/puncak

(x,y) = (-b/2a, – D/4a)

Titik potong pada sumbu x

(x1,0) dan (x2,0)

Titik potong pada sumbu y

(x,y) = (O,c)

Bentuk parabola

a>0 : terbuka ke atas
a<0 : terbuka ke bawah

Keterangan:

Bentuk umum: syarat a≠0.
Titik potong pada sumbu x: x1 dan x2 merupakan akar dari ax²+bx+c=0.
Titik potong pada sumbu y: jika x = 0, maka y = a(0)² + b(0) + c = c.

Persamaan fungsi kuadrat

Persamaan fungsi kuadrat :dimana f(x) = y maka titik balik (titik puncak) fungsi kuadrat adalah (,).

Pembuktian

Dari bentuk umum persamaan kuadrat,

Fungsi Kuadrat - Grafik Kuadrat - Rumus, Penjelasan, Soal dan Jawaban (4)

Fungsi Kuadrat - Grafik Kuadrat - Rumus, Penjelasan, Soal dan Jawaban (5)

Fungsi Kuadrat - Grafik Kuadrat - Rumus, Penjelasan, Soal dan Jawaban (6)

anggapan bahwaadalah 0 maka:

Fungsi Kuadrat - Grafik Kuadrat - Rumus, Penjelasan, Soal dan Jawaban (8)

Fungsi Kuadrat - Grafik Kuadrat - Rumus, Penjelasan, Soal dan Jawaban (9)

Fungsi Kuadrat - Grafik Kuadrat - Rumus, Penjelasan, Soal dan Jawaban (10)

Fungsi Kuadrat - Grafik Kuadrat - Rumus, Penjelasan, Soal dan Jawaban (11)

Fungsi Kuadrat - Grafik Kuadrat - Rumus, Penjelasan, Soal dan Jawaban (12)

atau

Fungsi Kuadrat - Grafik Kuadrat - Rumus, Penjelasan, Soal dan Jawaban (13)

maka titik balik adalah (,).

Penjelasan Fungsi Kuadrat

Di dalamaljabar,fungsi kuadrat,polinomial kuadratis,polinomial berderajat 2, atau sederhananyakuadratis, adalah fungsi polinomial yang memuat satu variabel atau lebih, di mana derajat tertinggi suku sama dengan dua.

Misalnya, fungsi kuadrat dengan tiga variabel x,y,danzsecara eksklusif memuat suku-sukux²,y²,z²,xy,xz,yz,x,y,z, dan sebuah konstanta:

Fungsi Kuadrat - Grafik Kuadrat - Rumus, Penjelasan, Soal dan Jawaban (17)

dengan paling sedikit satu darikoefisiena, b, c, d, e,atauf dari suku-suku berderajat dua tidak sama dengan nol.

Suatu fungsi kuadratunivariate (bervariabel tunggal) memiliki bentuk:

Fungsi Kuadrat - Grafik Kuadrat - Rumus, Penjelasan, Soal dan Jawaban (18)

di dalam variabel tunggalx.Grafikfungsi kuadrat univariat adalahparabolayang sumbu simetrinya sejajar dengan sumbu-y, seperti ditunjukkan dalam ilustrasi di kanan.

Jika suatu fungsi kuadrat ditetapkan sama dengan nol, maka hasilnya adalahpersamaan kuadrat. Penyelesaian untuk persamaan univariat disebut akar fungsi univariat.

Kasus bivariat dalam suku-suku variabelxdany memiliki bentuk:

Fungsi Kuadrat - Grafik Kuadrat - Rumus, Penjelasan, Soal dan Jawaban (19)

dengan paling sedikit satu daria, b, ctidak sama dengan nol, dan suatu persamaan yang menetapkan fungsi ini sama dengan nol akan menghasilkanirisan kerucut(lingkaranatauelips, parabola, atau hiperbola).

Secara umum, bisa terdapat sejumlah besar variabel sembarang, di mana kasus yang menghasilkanpermukaandisebutkuadrik, tetapi suku berderajat tertinggi haruslah 2, sepertix²,xy,yz, dan dst.

Contoh Soal dan Jawaban Fungsi Kuadrat

1. Diketahui grafik fungsiy = (m -3) x²+ 4x – 2m merupakan fungsi definit negatif. Batas-batas nilai m yang memenuhi adalah…

a. m < 3
b. m > 3
c. 1 < m < 2
d. 1 < m < 3
e. 2 < m < 3

Jawaban: C

Pembahasan:

Definit negatif jika D < 0 dan a < 0

1) m – 3 < 0makam < 3

2. Tentukan sumbu simetri grafik fungsi kuadrat y = 5x² – 20x + 1.

Pembahasan:
Sumbu simetri suatu fungsi kuadrat dapat dihitung dengan rumus x = -b/2a. Dari fungsi kuadrat pada soal diperoleh a = 5 dan b = -20.
x = -b/2a
⇒ x = -(-20)/2(5)
⇒ x = 20/10
⇒ x = 2
Jadi sumbu simetri untuk fungsi kuadrat y = 5x² – 20x + 1 adalah x = 2.

3. Sebuah grafik fungsi kuadrat memotong sumbu –x di A ( 1, 0 ) dan B ( 2, 0 ). Jika grafik tersebut juga melewati titik ( 0, 4 ), maka tentukanlah persamaan fungsi kuadratnya!

Penyelesaian :

Persamaan fungsi kuadrat bisa dinyatakan menjadi y = a ( x – 1 )

( x – 2 ). Nilai a ditentukan dari keterangan bahwa fungsi kuadrat itu lewat titik ( 0, 4 ). Maka artinya untuk nilai x = 0 didapatkan y = 4.

y = a ( x – 1 ) ( x – 2 )
4 = a ( 0 – 1 ) ( 0 – 2 )
4 = a ( -1 ) ( -2 )
4 = 2a
a = 2

Maka dari itu, persamaan fungsi kuadratnya adalah seperti di bawah ini:

y = f ( x )
y = a ( x – 1 ) ( x – 2 )
y = 2 ( x – 1 ) ( x – 2 )
y = 2 ( x² – x – 2x + 2 )
y = 2 ( x² – 3x + 2 ?)
y = 2x² – 6x + 4

4. Jika grafik fungsi y = x² + px + k mempunyai titik puncak (1,2), maka tentukan nilai p dan k.

Pembahasan
Dari y = x² + px + k diperoleh a = 1, b = p dan c = k.
Titik puncak (1,2) maka x = 1 dan y = 2.
x = -b/2a = 1
⇒ -b/2a = 1
⇒ -p/2 =1
⇒ p = -2
y = y(-b/2a) = y(1) = 2
⇒ x² + px + k = 2
⇒ (1)² + -2(1) + k = 2
⇒ 1 – 2 + k = 2
⇒ k = 2 + 1
⇒ k = 3
Jadi, p = -2 dan k = 3.

5. Tentukan koordinat titik balik dari grafik fungsi kuadrat yang persamaannya y = (x – 6)(x + 2).

Pembahasan

Uraikan persamaan di atas menjadi :
y = (x – 6)(x + 2)
⇒ y = x² + 2x – 6x – 12
⇒ y = x² – 4x – 12
Dari persamaan di atas diperoleh a = 1 dan b = -4.

Titik balik fungsi kuadrat dapat ditentukan dengan (x,y) = (-b/2a, F(-b/2a)).
x = -b/2a
⇒ x = -(-4)/2(1)
⇒ x = 4/2
⇒ x = 2
y = F(-b/2a) = F(x)
⇒ y = F(2)
⇒ y = 2² – 4(2) – 12
⇒ y = 4 – 8 – 12
⇒ y = -16
Jadi, titik balik fungsi kuadrat y = (x – 6)(x + 2) adalah (2,-16).

6. Tentukan koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat y = 3x² – x – 2 dengan sumbu x dan sumbu y.

Pembahasan:
Titik potong pada sumbu x dapat diperoleh jika y = 0.
3x² – x – 2 = 0
⇒ (3x + 2)(x – 1) = 0
⇒ x1 = -2/3 dan x2 = 1
Maka titik potongnya (-2/3,0) dan (1,0).

Titik potong pada sumbu y dapat diperoleh dengan x = 0.
⇒ y = 3x² – x – 2
⇒ y = 3(0)² – (0) – 2
⇒ y = -2
Maka titik potongnya (0,-2).

7. Jika diketahui fungsi kuadrat $f (x) = 2 x^{2} - 7 x - 5$ serta titik $A (2, - 11)$ , $B (- 1, 0)$ , dan $C (- 4, 55)$ . Maka titik yang dilalui grafikfungsi $f (x)$ adalah…

A. titik $A, B$ , dan $C$
B. titik $A$ dan $B$
C. titik $A$ dan $C$
D. titik $A$ saja
E. titik $C$ saja

Pembahasan

Titik $P (x, y)$ dilalui olehgrafikfungsi $f (x)$ apabila substitusi nilai $x$ pada rumus fungsi menghasilkan nilai $y$ .
Diketahui $f (x) = 2 x^{2} - 7 x - 5$ .

Periksa titik $A (2, - 11)$ :
Substitusi $x = 2$ pada $f (x)$ , diperoleh
$\begin{aligned} f (2) & = 2 (2)^{2} - 7 (2) - 5 \\ = 8 - 14 - 5 = - 11 \end{aligned}$

$\begin{aligned} f (2) & = 2 (2)^{2} - 7 (2) - 5 \\ = 8 - 14 - 5 = - 11 \end{aligned}$

Diperoleh $y = - 11$ sehingga titik $A$ dilalui olehgrafik fungsi $f (x)$ .

Periksa titik $B (- 1, 0)$ :
Substitusi $x = - 1$ pada $f (x)$ , diperoleh
$\begin{aligned} f (- 1) & = 2 (- 1)^{2} - 7 (- 1) - 5 \\ = 2 + 7 - 5 = 4 \end{aligned}$

Diperoleh $y = 4$ sehingga titik $B$ tidak dilalui olehgrafik fungsi $f (x)$ .

Periksa titik $C (- 4, 55)$ :
Substitusi $x = - 4$ pada $f (x)$ , diperoleh
$\begin{aligned} f (- 4) & = 2 (- 4)^{2} - 7 (- 4) - 5 \\ = 32 + 28 - 5 = 55 \end{aligned}$

Diperoleh $y = 55$ sehingga titik $C$ dilalui olehgrafikfungsi $f (x)$ .
Jadi, titik yang dilalui adalah titik $A$ dan $C$ .
(Jawaban C)

8. Tentukan titik balik fungsi kuadrat F(x) = 2(x + 2)2 + 3.

Cara Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

1. Tentukan titik potong terhadap sumbu x.
2. Tentukan titik potong terhadap sumbu y.
3.Tentukan titik balik.
4.Tarik garis parabola

Keterangan:
Fungsi kuadrat: F(x) ax² + bx + c , a ≠ 0.

Untuk tiktik potong terhadap sumbu x (jika ada), maka merupakan akar dari ax² + bx + c = 0.
Untuk tiktik potong terhadap sumbu y, maka x = 0, sehingga y = a(0) + b(0) + c = c → titik (0,c).
Titik balik dapat dapat berupa titik maksimum (grafik terbuka ke bawah) atau minimum (terbuka ke atas).

Contoh Soal Grafik Fungsi Kuadrat dan Jawabannya

1. Jika grafikfungsi kuadrat $f (x) = x^{2} + x + p$ menyinggung garis $3 x + y = 1$ dengan $p > 0$ , maka nilai $p$ yang memenuhi adalah…

A. 55
B.44
C. 33
D. 22
E.11

Pembahasan:

Substitusikanf(x)=y=x2+x+pkepersamaan3x+y=1, sehingga diperoleh
3x+(x²+x+p)=1
x²+4x+(p-1)=0

Karena grafik fungsi kuadrat (parabola) dan garisnya bersinggungan, maka diskriminan dari persamaan kuadrat di atas bernilai 0.
D=b²−4ac=0
(4)²−4(1)(p−1)=0
16−4p+4=0
4p=20
p=5

Jadi, nilai p adalah 5
(Jawaban A)

2. Ke arah manakah grafik fungsi f(x) = x² harus digeser untuk memperoleh grafik fungsi kuadart f(x) = x² – 6x + 7.

Pembahasan:
Fungsi kuadrat f(x) = x² memiliki nilai :
⇒ a > 0 sehingga parabola terbuka ke atas.
⇒ b = 0 sehingga titik balik parabola berada pada sumbu y.
⇒ c = 0 sehingga grafik parabola melalui titik (0,0).Fungsi kuadrat f(x) = x² – 6x + 7 memiliki nilai :
⇒ a > 0 sehingga parabola terbuka ke atas
⇒ b = -6 maka a.b = -6 < 0 sehingga titik balik ada di kanan sumbu y.
⇒ c = 7 > 0 sehingga parabola memotong sumbu y di atas sumbu x.

Karena titik balik ada di kanan sumbu y, berarti grafik f(x) = x²harus digeser ke arah kanan sumbu x. Untuk lebih jelasnya kita dapat menentukan terlebih dahulu titik-titik yang dibutuhkan, yaitu :
⇒ sumbu simetri = x = -b/2a = -(-6)/2(1) = 3
⇒ nilai ekstrim = y = f(-b/2a) = f(3) = 3² – 6(3) + 7 = -2
⇒ titik balik = (x,y) = (3,-2)

Ingat bahwa grafik f(x) = x² melalui titik (0,0) sedangkan grafik f(x) = x² – 6x + 7 melalui titik (3,-2), maka kita dapat menggambar grafik fungsi kuadrat f(x) = x² – 6x + 7 dengan menggeser grafik fungsi kuadrat f(x) = x² ke arah kanan sumbu x sejauh 3 satuan dan ke arah bawah sumbu y sejauh 2 satuan seperti gambar di bawah ini :

3. Grafik fungsi y=ax²+bx−1 memotong sumbu-X di titik (12,0) dan (1,0). Fungsi ini mempunyai nilai ekstrem…

A. maksimum 3/8
B. minimum −3/8
C. maksimum -2/8
D. maksimum 1/8
E. minimum −1/8
F. maksimum 5/8

Pembahasan:
Secara aljabar, kasus di atas dapat dimisalkan sebagai suatu persamaan kuadrat yang memiliki akar x1=1/2 dan x2=1, sehingga ditulis
(x−1/2)(x−1)=0
x²−32/x+1/2=0

Kalikan kedua ruas dengan −2
−2x²+3x−1=0

Bandingkan dengan rumus fungsi y=ax²+bx−1.
Dari sini, diperoleh a=−2a=−2 dan b=3.
Karena koefisien x², yaitu a, bernilai negatif, maka parabola (grafik fungsi) akan terbuka ke bawah sehingga nilai ekstremnya maksimum yaitu
yp=−D/4a
=−b²−4ac/4a
=[−3²−4(−2)(−1)] / [4(−2)]=−[9−8] / [−8] =1/8

Jadi, nilai ekstrem fungsi tersebut adalah maksimum 1/8
(Jawaban D)

4. Gambarkan grafik fungsi kuadrat y = x² + 2x + 5.

Pembahasan:
Dari soal diperoleh a = 1, b = 2 dan c = 5. Tentukan titik-titik yang dibutuhkan, yaitu :
⇒ sumbu simetri = x = -b/2a = -2/2(1) = -1
⇒ nilai ekstrim = y = f(-1) = (-1)² + 2(-1) + 5 = 4
⇒ titik balik = (x,y) = (-1,4) berarti parabola tidak memotong sumbu x.
⇒ titik potong pada sumbu y = (0,c) = (0,5)

maka grafik untuk y = x² + 2x + 5 adalah seperti berikut ini :

Jika dianalisis berdasarkan nilai a, b, c dan diskriminan, kita dapat membuktikan bahwa grafik di atas sesuai atau tidak.
⇒ a = 1 → a > 0 : parabola terbuka ke atas.
⇒ b = 2 → a.b = 1(2) = 2 → a.b > 0 : titik balik di kiri sumbu y.
⇒ c = 5 → c > 0 : parabola memotong sumbu y di atas sumbu x.
⇒ D = b² – 4ac = 4 – 4(1)(5) = – 16 : grafik tidak memotong sumbu x karena D < 0.

5. Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik minimum (1,2) dan melalui titik (2,3).

Pembahasan
Misalkan fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c maka kita harus mencari nilai a, b, dan c.

Titik balik minimum (1,2) maka:
sumbu simetri = x = 1
⇒ -b/2a = 1 maka b = -2a
nilai ekstrim = y = 2
⇒ f(-b/2a) = 2
⇒ a(1)² + b(1) + c = 2
⇒ a + b + c = 2 → ganti b dengan -2a.
⇒ a – 2a + c = 2
⇒ -a + c = 2Melalui titik (2,3), maka :
⇒ f(2) = 3
⇒ a(2)² + b(2) + c = 3
⇒ 4a + 2b + c = 3
⇒ 4a + 2(-2a) + c = 3
⇒ 4a – 4a + c = 3
⇒ c = 3

Substitusi nilai c = 3 ke persamaan -a + c = 2.

⇒ -a + 3 = 2
⇒ -a = -1
⇒ a = 1
Karena a = 1 maka :
⇒ b = -2a
⇒ b = -2(1)
⇒ b = -2
Jadi fungsi kuadrat yang grafiknya melalaui titik (2,3) dan titik balik minimum (1,2) adalah : x² – 2x + 3.

Bacaan Lainnya

Persamaan Pangkat 3 – Fungsi Kubik – Matematika Aljabar – Beserta Contoh Soal dan jawaban
Akar Kuadrat / Pangkat – Penjelasan, Contoh Soal dan Jawaban
Quiz Matematika- 4√16 + 4√16 = jawaban A, B, C atau D ? ‪- Penyederhanaan Akar Kuadrat
Pangkat Matematika – Tabel dari 1-100 – Pangkat 2, 3, Akar Pangkat 2 dan 3 – Beserta Contoh Soal dan Jawaban
Nilai Pi 1 juta digit pertama π
Nilai Pi Yang Tepat π – 100 000 digit pertama
Perbandingan Rasio Matematika – Rumus, Contoh Soal dan Jawaban
Faktoradik Matematika – Nilai, Cara, Kode Program dan Contohnya
Rumus Geometri – Contoh Soal dan Jawaban – Segi tiga, Persegi, Trapesium, Layang-layang, Jajaran Genjang, Belah ketupat, Lingkaran, Prisma, Balok, Kubus, Tabung, Limas, Bola
Rumus Volume (Isi) Matematika – rumus volume untuk: kubus, balok, silinder, limas, kerucut, bola, ellipsoid, torus, tetrahedron, tarallelepiped, volume benda putar…
Sudut Matematika dan Radian – Geometri – Soal Jawaban
Rumus Turunan Matematika – TABEL TURUNAN DIFERENSIAL KALKULUS – Beserta Contoh Soal dan Jawaban
Rumus-Rumus Lingkaran – Volume – Tes Matematika Lingkaran
Induksi Elektromagnetik – Hukum Faraday dan Hukum Lenz – Soal dan Jawaban
Rumus Induktansi, Induktor dan Energi Medan Magnet – Soal dan Jawaban
Induksi dan Fluks Magnetik Bersama Contoh Soal dan Jawaban
Rumus Rangkaian Listrik Dan Contoh-Contoh Soal Beserta Jawabannya
Tabel Konstanta Fisika – Tabel konstanta universal, elektromagnetik, atom dan nuklir, fisika-kimia, nilai yang diadopsi, satuan natural, bilangan tetap
Rumus Fisika: Alat optik: Lup, Mikroskop, Teropong Bintang, Energi, Frekuensi, Gaya, Gerak, Getaran, Kalor, Massa jenis, Medan magnet, Mekanika fluida, Momen Inersia, Panjang gelombang, Pemuaian, Percepatan (akselerasi), Radioaktif, Rangkaian listrik, Relativitas, Tekanan, Usaha Termodinamika, Vektor
Bagaimana Albert Einstein mendapatkan rumus E=mc² ?
Cara menjaga keluarga Anda aman dari teroris – Ahli anti-teror menerbitkan panduan praktis
Apakah Anda Memerlukan Asuransi Jiwa?– Cara Memilih Asuransi Jiwa Untuk Pembeli Yang Pintar
Daftar Jenis Kanker:Pemahaman Kanker, Mengenal Dasar-Dasar, Contoh Kanker, Bentuk, Klasifikasi, Sel dan Pemahaman Penyakit Kanker Lebih Jelas
Penyebab Dan Cara Mengatasi Iritasi Atau Lecet Akibat Pembalut Wanita
Apakah Produk Pembalut Wanita Aman?
Sistem Reproduksi Manusia, Hewan dan Tumbuhan
Cara Mengenal Karakter Orang Dari 5 Pertanyaan Berikut Ini

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons“Ooo begitu ya…”akan lebih sering terdengar jika Anda mengunduh aplikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar?AplikasiIlmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

Sumber bacaan: Math World, Popular Mechanics, Cliffs Notes

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz|Matematika|IPA||Info Unik|Lainnya |